Рішення задач по топографічним планам. масштаб

ВСТУП

Топографічна карта являє собою зменшене узагальнене зображення місцевості, що показує елементи за допомогою системи умовних знаків.
Відповідно до ставляться топографічні карти відрізняються високою геометричній точністю і географічним відповідністю. Це забезпечується їх масштабом, Геодезичної основою, картографічними проекціями і системою умовних знаків.
Геометричні властивості картографічного зображення: розміри і форма ділянок, зайнятих географічними об'єктами, відстані між окремими пунктами, напрямки від одного до іншого - визначаються його математичною основою. математична основа карт включає в якості складових частин масштаб, Геодезичну основу, і картографічну проекцію.
Що являє собою масштаб карти, які види масштабів бувають, як побудувати графічний масштаб і як користуватися масштабами розглянемо на лекції.

6.1. ВИДИ МАСШТАБІВ ТОПОГРАФІЧНИХ КАРТ

При складанні карт і планів горизонтальні проекції відрізків зображують на папері в зменшеному вигляді. Ступінь такого зменшення характеризується масштабом.

масштаб карти (Плану) - відношення довжини лінії на карті (плані) до довжини горизонтального прокладання відповідної лінії місцевості

m \u003d l К: d M

Масштаб зображення невеликих ділянок на всій топографічній карті практично постоянен.Прі невеликих кутах нахилу фізичної поверхні (на рівнині) довжина горизонтальної проекції лінії дуже мало відрізняється від довжини похилої лінії. У цих випадках можна вважати масштабом довжини відношення довжини лінії на карті до довжини відповідної лінії на місцевості.

Масштаб вказується на картах в різних варіантах

6.1.1. чисельний масштаб

чисельний масштаб висловлюють у вигляді дробу з чисельником рівним 1(Аліквотна дріб).

або

знаменник М чисельного масштабу показує ступінь зменшення довжин ліній на карті (плані) по відношенню до довжин відповідних ліній на місцевості. Порівнюючи між собою чисельні масштаби, більшим називають той, у якого знаменник менше.
Використовуючи чисельний масштаб карти (плану), можна визначити горизонтальне прокладання dм лінії на місцевості

приклад.
Масштаб карти 1:50 000. Довжина відрізка на карті lК\u003d 4,0 см. Визначити горизонтальне прокладання лінії на місцевості.

Рішення.
Помноживши величину відрізка на карті в сантиметрах на знаменник чисельного масштабу отримуємо горизонтальне прокладання в сантиметрах.
d \u003d 4,0 см × 50 000 \u003d 200 000 см, або 2 000 м, або 2 км.

Зверніть увагу на те, що чисельний масштаб є величина абстрактна, не має конкретних одиниць виміру.Якщо чисельник дробу висловити в сантиметрах, то і знаменник матиме ті ж одиниці вимірювання, тобто сантиметри.

наприклад, Масштаб 1:25 000 означає, що 1 сантиметру карти відповідає 25 000 сантиметрів місцевості, або 1 дюйм карти відповідає 25 000 дюймів місцевості.

Для задоволення потреб господарства, науки і оборони країни необхідні карти різних масштабів. Для державних топографічних карт, лесоустроітельних планшетів, планів лісництв та лісонасаджень визначені стандартні масштаби - масштабний ряд(Табл. 6.1, 6.2).

Масштабний ряд топографічних карт

Таблиця 6.1.

чисельний масштаб	Назва карти	1 см карти відповідає на місцевості віддалі	1 см2 карти відповідає на місцевості площі
	п'ятитисячний		0,25 гектар
	десятитисячна
	Двадцатіпятітисячная		6,25 гектар
	П'ятдесятитисячна
	стотисячна
	двохсоттисячна
	п'ятсоттисячним
	мільйонна

Раніше цей ряд включав масштаби 1: 300 000, і 1: 2 000.

6.1.2. іменований масштаб

іменованих масштабом називають словесне вираження чисельного масштабу. Під чисельним масштабом на топографічній карті є напис пояснює, скільки метрів або кілометрів на місцевості відповідає одному сантиметру карти.

наприклад, На карті під чисельним масштабом 1:50 000 записано: «в 1 сантиметрі 500 метрів». Цифра 500 в даному прикладі є величина іменованого масштабу .
Використовуючи іменований масштаб карти, можна визначити горизонтальне прокладання dм лінії на місцевості. Для цього необхідно величину відрізка, виміряну на карті в сантиметрах, помножити на величину іменованого масштабу.

приклад. Іменований масштаб карти - «в 1 сантиметрі 2 кілометри». Довжина відрізка на карті lК\u003d 6,3 см. Визначити горизонтальне прокладання лінії на місцевості.
Рішення. Помноживши величину відрізка виміряного на карті в сантиметрах на величину іменованого масштабу, отримуємо горизонтальне прокладання в кілометрах на місцевості.
d \u003d 6,3 см × 2 \u003d 12,6 км.

6.1.3. графічні масштаби

Щоб уникнути математичних обчислень і прискорити роботу на карті, користуються графічними масштабами . Таких масштабів два: лінійний і поперечний .

лінійний масштаб

Для побудови лінійного масштабу вибирають вихідний відрізок, зручний для даного масштабу. Цей вихідний відрізок ( а) називають підставою масштабу (Рис. 6.1).

Мал. 6.1. Лінійний масштаб. Вимірюваний відрізок на місцевості
буде CD \u003d ED + CE \u003d 1000 м + 200 м \u003d 1200 м.

Підстава відкладають на прямій лінії необхідне число раз, крайнє ліве підставу ділять на частини (відрізок b), Які будуть найменшими розподілами лінійного масштабу . Відстань на місцевості, яке відповідає найменшому поділу лінійного масштабу, називають точністю лінійного масштабу .

Порядок користування лінійним масштабом:

• праву ніжку циркуля поставити на одне з поділок праворуч від нуля, а ліву ніжку - на ліве підставу;
• довжина лінії складається з двох відліків: відлік цілих підстав і відліку поділок лівого підстави (рис. 6.1).
• Якщо відрізок на карті довше побудованого лінійного масштабу, то його вимірюють по частинах.

поперечний масштаб

Для більш точних вимірювань користуються поперечним масштабом (Рис. 6.2, б).

Рис 6.2. Поперечний масштаб. вимірювання відстаней
PK = TK + PS + ST = 1 00 +10 + 7 = 117 м.

Для його побудови на відрізку прямої лінії відкладають кілька підстав масштабу ( a). Зазвичай довжина підстави становить 2 см або 1 см. В отриманих точках встановлюють перпендикуляри до лінії АВ і проводять через них десять паралельних ліній через рівні проміжки. Крайнє ліве підставу зверху і знизу ділять на 10 рівних відрізків і з'єднують їх косими лініями. Нульову точку нижньої основи з'єднують з першою точкою З верхнього підстави і так далі. Отримують ряд паралельних похилих ліній, які називають трансверсалями.
Найменше розподіл поперечного масштабу дорівнює відрізку C 1 D 1 , (Рис. 6. 2, а). На таку довжину відрізняється сусідній паралельно розташований відрізок при русі вгору по трансверсалі 0С і по вертикальній лінії 0Д.
Поперечний масштаб з основою 2 см, називають нормальним . Якщо основа поперечного масштабу розділене на десять частин, то його називають сотенним . У сотенному масштабі ціна найменшого ділення дорівнює одній сотій частці підстави.
Поперечний масштаб гравірують на металевих лінійках, які називають масштабними.

Порядок користування поперечним масштабом:

• циркулем-вимірником зафіксувати довжину лінії на карті;
• праву ніжку циркуля поставити на ціле розподіл підстави, а ліву - на будь-яку трансверсалями, при цьому обидві ніжки циркуля повинні розташовуватися на лінії, паралельної лінії AB;
• довжина лінії складається з трьох відліків: відлік цілих підстав, плюс відлік поділок лівого підстави, плюс відлік поділок вгору по трансверсалі.

Точність вимірювання довжини лінії за допомогою поперечного масштабу оцінюється половиною ціни його найменшого ділення.

6.2. РІЗНОВИДИ ГРАФІЧНИХ МАСШТАБІВ

6.2.1. перехідний масштаб

Іноді в практиці доводиться користуватися картою або аерознімки, масштаб яких не є стандартним. Наприклад, 1:17 500, тобто 1 см на карті відповідають 175 м на місцевості. Якщо побудувати лінійний масштаб з основою 2 см, то найменше розподіл лінійного масштабу при цьому буде 35 м. Оцифровка такого масштабу викликає труднощі при виробництві практичних робіт.
Щоб спростити визначення відстаней по топографічній карті, надходять у такий спосіб. Підстава лінійного масштабу приймають не 2 см, а розраховують так, щоб воно відповідало круглому числу метрів - 100, 200, і т.д ..

приклад. Потрібно розрахувати довжину підстави відповідного 400 м для карти масштабу 1:17 500 (в одному сантиметрі 175 метрів).
Щоб визначити, які розміри на карті масштабу 1:17 500 матиме відрізок довжиною 400 м, складаємо пропорції:
на місцевості на плані
175 м 1 см
400 м Х см
Х см \u003d 400 м × 1 см / 175 м \u003d 2,29 см.

Вирішивши пропорцію, робимо висновок: підставу перехідного масштабу в сантиметрах дорівнює величині відрізка на місцевості в метрах поділене на величину іменованого масштабу в метрах. Довжина підстави в нашому випадку
а \u003d 400/175 \u003d 2,29 см.

Якщо тепер побудувати поперечний масштаб з довжиною підстави а\u003d 2,29 см, то одну поділку лівого підстави буде відповідати 40 м (рис. 6.3).

Мал. 6.3. Перехідний лінійний масштаб.
вимірювання відстаней АС \u003d ВС + АВ \u003d 800 +160 \u003d 960 м.

Для більш точних вимірювань на картах і планах будують поперечний перехідний масштаб.

6.2.2. масштаб кроків

Використовують цей масштаб для визначення відстаней, виміряних кроками під час глазомерной зйомки. Принцип побудови і використання масштабу кроків подібний перехідному масштабу. Підстава масштабу кроків розраховують так, щоб воно відповідало круглого числа кроків (пар, трійок) - 10, 50, 100, 500.
Для розрахунку величини підстави масштабу кроків необхідно визначити масштаб зйомки і розрахувати середню довжину кроку Шср.
Середню довжину кроку (пари кроків) розраховують за відомим відстані, пройденого в прямому і зворотному напрямках. Розділивши відоме відстань на кількість пройдених кроків, отримують середню довжину одного кроку. При нахилі земної поверхні кількість пройдених кроків в прямому і зворотному напрямках буде різний. При русі в сторону підвищення рельєфу крок буде коротше, а у зворотний бік - довша.

приклад. Відоме відстань 100 м виміряна кроками. У прямому напрямку пройдено 137 кроків, а в зворотному - 139 кроків. Розрахувати середню довжину одного кроку.
Рішення. Всього пройдено: Σ м \u003d 100 м + 100 м \u003d 200 м. Сума кроків становить: Σ ш \u003d 137 ш + 139 ш \u003d 276 ш. Середня довжина одного кроку становить:

Шср \u003d 200/276 \u003d 0,72 м.

Зручно працювати з лінійним масштабом, коли масштабна лінія розмічена через 1 - 3 см, а ділення підписані круглим числом (10, 20, 50, 100). Очевидно, величина одного кроку 0,72 м в будь-якому масштабі матиме вкрай малі значення. Для масштабу 1: 2 000 відрізок на плані становитиме 0,72 / 2 000 \u003d 0,00036 м або 0,036 см. Десять кроків, у відповідному масштабі, будуть виражені відрізком 0,36 см. Найбільш зручним підставою для даних умов, на думку автора, буде величина 50 кроків: 0,036 × 50 \u003d 1,8 см.
Для тих, хто вважає кроки парами, зручною підставою буде 20 пар кроків (40 кроків) 0,036 × 40 \u003d 1,44 см.
Довжину підстави масштабу кроків можна також обчислити з пропорцій або за формулою
а = (Шср × КШ) / М
де: Шср -середня величина одного кроку в сантиметрах,
КШ -кількість кроків в підставі масштабу ,
М -знаменник масштабу.

Довжина підстави для 50 кроків в масштабі 1: 2 000 з довжиною одного кроку рівним 72 см становитиме:
а \u003d 72 × 50/2000 \u003d 1,8 см.
Щоб побудувати масштаб кроків для наведеного вище прикладу необхідно горизонтальну лінію розділити на відрізки рівні 1,8 см, а ліве підставу розділити на 5 або 10 рівних частин.

Мал. 6.4. Масштаб кроків.
вимірювання відстаней АС \u003d ВС + АВ \u003d 100 + 20 \u003d 120 ш.

6.3. ТОЧНІСТЬ МАСШТАБУ

точність масштабу (Гранична точність масштабу) - це відрізок горизонтального прокладання лінії, відповідний 0,1 мм на плані. Значення 0,1 мм для визначення точності масштабу прийнято через те, що це мінімальний відрізок, який людина може розрізнити неозброєним оком.
наприклад, Для масштабу 1:10 000 точність масштабу буде дорівнює 1 м. У цьому масштабі 1 см на плані відповідає 10 000 см (100 м) на місцевості, 1 мм - 1 000 см (10 м), 0,1 мм - 100 см (1 м). З наведеного прикладу випливає, що якщо знаменник чисельного масштабу розділити на 10 000, то отримаємо граничну точність масштабу в метрах.
наприклад, Для чисельного масштабу 1: 5 000 гранична точність масштабу буде 5 000/10 000 = 0,5 м.

Точність масштабу дозволяє вирішувати дві важливі завдання:

• визначення мінімальних розмірів об'єктів і предметів місцевості, які зображуються в даному масштабі, і розмірів об'єктів, які в даному масштабі неможливо зобразити;
• встановлення масштабу, в якому слід створювати карту, щоб на ній зобразити предмети і об'єкти місцевості із заздалегідь визначеними мінімальними розмірами.

Практично приймається, що довжина відрізка на плані або карті може бути оцінена з точністю 0,2 мм. Горизонтальна відстань на місцевості, відповідне в даному масштабі 0,2 мм (0,02 см) на плані, називається графічною точністю масштабу . Графічна точність визначення відстаней на плані або карті може бути досягнута тільки при використанні поперечного масштабу.
Слід мати на увазі, що при вимірах на мапі взаємного положення контурів точність визначається не графічною точністю, а точністю самої карти, де помилки можуть становити в середньому 0,5 мм внаслідок впливу інших, крім графічних, похибок.
Якщо врахувати похибку карту пам'яті та похибка вимірювань на карті, то можна зробити висновок, що графічна точність визначення відстаней на карті в 5 - 7 гірше граничної точності масштабу, т. Е. Становить 0,5 - 0,7 мм в масштабі карти.

6.4. ВИЗНАЧЕННЯ НЕВІДОМОГО МАСШТАБУ КАРТИ

У тих випадках, коли з якої-небудь причини масштаб на карті відсутній (наприклад, обрізаний при склеюванні), він може бути визначений одним із таких способів.

• За координатної сітки . Треба виміряти відстань на карті між лініями координатної сітки і визначити, через скільки кілометрів проведені ці лінії; тим самим визначиться і масштаб карти.

Наприклад, координатні лінії позначені числами 28, 30, 32 і т. Д. (За західною рамці) і 06, 08, 10 (по південній рамці). Ясно, що лінії проведені через 2 км. Відстань на карті між сусідніми лініями дорівнює 2 см. Звідси випливає, що 2 см на карті відповідають 2 км на місцевості, а 1 см на карті - 1 км на місцевості (іменований масштаб). Значить, масштаб карти буде 1: 100 000 (в 1 сантиметрі 1 кілометр).

• За номенклатурою аркуша карти. Система позначень (номенклатура) аркушів карт для кожного масштабу цілком певна, тому, знаючи систему позначень, неважко впізнати масштаб карти.

Лист карти масштабу 1: 1 000 000 (мільйонної) позначається однією з букв латинського алфавіту і одним з чисел від 1 до 60. Система позначень карт більших масштабів має в своїй основі номенклатуру аркушів мільйонної карти і може бути представлена \u200b\u200bнаступною схемою:

1: 1 000 000 - N-37
1: 500 000 - N-37-Б
1: 200 000 - N-37-X
1: 100 000 - N-37-117
1:50 000 - N-37-117-А
1:25 000 - N-37-117-А-г

Залежно від місця розташування листа карти, букви і числа, складові його номенклатуру, будуть різні, але порядок і кількість букв і чисел в номенклатурі аркуша карти даного масштабу будуть завжди однакові.
Таким чином, якщо карта має номенклатуру М-35-96, то, порівнявши її з наведеною схемою, можна відразу сказати, що масштаб цієї карти буде 1: 100 000.
Детальніше про номенклатуру карт см. Главу 8.

• За відстаням між місцевими об'єктами. Якщо на карті є два об'єкти, відстань між якими на місцевості відомо або може бути виміряна, то для визначення масштабу потрібно число метрів між цими предметами на місцевості розділити на число сантиметрів між зображеннями цих предметів на карті. В результаті отримаємо число метрів в 1 см даної карти (іменований масштаб).

Наприклад, відомо, що відстань від н.п. Кувечіно до оз. Глибоке 5 км. Вимірявши це відстань на карті, отримали 4.8 см. Тоді
5000 м / 4,8 см \u003d тисячі сорок дві м в одному сантиметрі.
Карти в масштабі 1 104 200 не видані, тому виробляємо округлення. Після округлення матимемо: 1 см карти відповідає 1 000 м місцевості, т. Е. Масштаб карти 1: 100 000.
Якщо на карті є дорога з кілометровими стовпами, то масштаб найзручніше визначати, по відстані між ними.

• За розмірами довжини дуги однієї хвилини меридіана . Рамки топографічних карт по меридіанах і паралелях мають поділу в хвилинах дуги меридіана і паралелі.

Однією хвилині дуги меридіана (по східної чи західної рамці) відповідає на місцевості відстань 1 852 м (морська миля). Знаючи це, можна визначити масштаб карти так само, як і за відомим відстані між двома об'єктами місцевості.
наприклад, Хвилинний відрізок по меридіану на карті дорівнює 1,8 см. Отже, в 1 см на карті буде тисячі вісімсот п'ятьдесят дві: 1,8 \u003d 1 030 м. Зробивши округлення, одержуємо масштаб карти 1: 100 000.
У наших обчисленнях отримані наближені значення масштабів. Це сталося в силу наближеності взятих відстаней і неточності їх вимірювання на карті.

6.5. ТЕХНІКА ВИМІРЮВАННЯ І відкладання ВІДСТАНЕЙ НА КАРТІ

Для вимірювання відстаней по карті використовують міліметрову або масштабну лінійку, циркуль-вимірювач, а для вимірювання кривих ліній - курвиметр.

6.5.1. Вимірювання відстаней міліметровою лінійкою

Міліметровою лінійкою виміряти відстань між заданими точками на карті з точністю 0,1 см. Отримане число сантиметрів помножити на величину іменованого масштабу. Для рівнинній місцевості результат буде відповідати відстані на місцевості в метрах або кілометрах.
Приклад. На карті масштабу 1: 50 000 (в 1 см - 500 м) Відстань між двома точками дорівнює 3,4 см. Визначити відстань між цими точками.
Рішення. Іменований масштаб: в 1 см 500 м. Відстань на місцевості між точками буде 3,4 × 500 \u003d 1700 м.
При кутах нахилу земної поверхні більш 10º необхідно ввести відповідну поправку (див. Далі).

6.5.2. Вимірювання відстаней циркулем-вимірником

При вимірюванні відстані по прямій лінії голки циркуля встановлюють на кінцеві точки, потім, не змінюючи розчину циркуля, за лінійним або поперечному масштабу відраховують відстань. У тому випадку, коли розчин циркуля перевищує довжину лінійного або поперечного масштабу, ціле число кілометрів визначається по квадратах координатної сітки, а залишок - звичайним порядком за масштабом.

Мал. 6.5. Вимірювання відстаней циркулем-вимірником за лінійним масштабом.

Для отримання довжини ламаної лінії послідовно вимірюють довжину кожного її ланки, а потім підсумовують їх величини. Такі лінії вимірюють також нарощуванням розчину циркуля.
приклад. Щоб виміряти довжину ламаної АВСD (Рис. 6.6, а), Ніжки циркуля спочатку ставлять в точки А і В. Потім, обертаючи циркуль навколо точки В. переміщують задню ніжку з точки А в ціль В", Що лежить на продовженні прямої ВС.
Передню ніжку з точки В переносять в точку З. В результаті отримують розчин циркуля В "С=АВ+ВС. Перемістивши аналогічним чином задню ніжку циркуля з точки В " в ціль З ", А передню з З в D. отримують розчин циркуля
З "D \u003d В" С + СD, довжину якого визначають за допомогою поперечного або лінійного масштабу.

Мал. 6.6. Вимірювання довжини лінії: а - ламаної ABCD; б - крівойA 1 B 1 C 1;
B "C" - допоміжні точки

Довгі криві відрізки вимірюють по хордам кроками циркуля (див. рис. 6.6, б). Крок циркуля, що дорівнює цілому числу сотень або десятків метрів, встановлюють за допомогою поперечного або лінійного масштабу. При перестановці ніжок циркуля уздовж вимірюваної лінії в напрямках, показаних на рис. 6.6, б стрілками, вважають кроки. Загальна довжина лінії А 1 С 1 складається з відрізка А 1 В 1, рівного величині кроку, помноженої на число кроків, і залишку У 1 С 1 вимірюваного по поперечному або лінійному масштабу.

6.5.3. Вимірювання відстаней курвиметром

Криві відрізки вимірюють механічним (рис. 6.7) або електроннним (рис. 6.8) курвиметром.

Мал. 6.7. курвіметр механічний

Спочатку, обертаючи коліщатко рукою, встановлюють стрілку на нульову поділку, потім прокочують коліщатко по вимірюваної лінії. Відлік на циферблаті проти кінця стрілки (в сантиметрах) множать на величину масштабу карти і отримують відстань на місцевості. Цифровий курвиметр (рис. 6.7.) - це високоточний, зручний у використанні прилад. Курвіметр включає архітектурні та інженерні функції і має зручний дисплей для читання інформації. Цей прилад може обробляти метричні і англо-американські (фути, дюйми, і т.д.) значення, що дозволяє працювати з будь-якими картами та кресленнями. Можна ввести найбільш часто використовуваний вид вимірювань, і прилад автоматично буде переводити масштабні вимірювання.

Мал. 6.8. Курвіметр цифровий (електронний)

Для підвищення точності і надійності результатів рекомендується все вимірювання проводити двічі - в прямому і зворотному напрямках. У разі незначних відмінностей виміряних даних за кінцевий результат приймається середнє арифметичне значення виміряних величин.
Точність вимірювання відстаней зазначеними способами із застосуванням лінійного масштабу становить 0,5 - 1,0 мм в масштабі карти. Те ж саме, але із застосуванням поперечного масштабу становить 0,2 - 0,3 мм на 10 см довжини лінії.

6.5.4. Перерахунок горизонтального прокладання в похилу дальність

Слід пам'ятати, що в результаті вимірювання відстаней за картками, отримують довжини горизонтальних проекцій ліній (d), а не довжини ліній на земній поверхні (S) (рис. 6.9).

Мал. 6.9. Похила дальність ( S) І горизонтальне прокладання ( d)

Дійсне відстань на похилій поверхні можна обчислити за формулою:

де d - довжина горизонтальної проекції лінії S;
v - кут нахилу земної поверхні.

Довжину лінії на топографічній поверхні можна визначити за допомогою таблиці (табл.6.3) відносних величин поправок до довжини горизонтального прокладання (в%).

Таблиця 6.3

Кут нахилу

Правила користування таблицею

1. У першому рядку таблиці (0 десятків) наведені відносні величини поправок при кутах нахилу від 0 ° до 9 °, у другій - від 10 ° до 19 °, у третій - від 20 ° до 29 °, в четвертій - від 30 ° до 39 °.
2. Щоб визначити абсолютну величину поправки, необхідно:
а) в таблиці по куту нахилу знайти відносну величину поправки (якщо кут нахилу топографічної поверхні задається не цілим числом градусів, то треба відносну величину поправки знайти интерполированием між табличними величинами);
б) обчислити абсолютну величину поправки до довжини горизонтального прокладання (т. е. цю довжину помножити на відносну величину поправки і отриманий добуток поділити на 100).
3. Щоб визначити довжину лінії на топографічній поверхні, треба обчислену абсолютну величину поправки додати до довжини горизонтального прокладання.

Приклад. На топографічній карті визначена довжина горизонтального прокладання тисяча сімсот тридцять п'ять м, кут нахилу топографічної поверхні - 7 ° 15 '. У таблиці відносні величини поправок наведені для цілих градусів. Отже, для 7 ° 15 "необхідно визначити найближчу велику і найближчу меншу величини кратні одному градусу - 8º і 7º:
для 8 ° відносна величина поправки 0,98%;
для 7 ° 0,75%;
різницю табличних величин в 1º (60 ') 0,23%;
різницю між заданим кутом нахилу земної поверхні 7 ° 15 "і найближчій меншою табличній величиною 7º становить 15".
Складаємо пропорції і знаходимо відносну величину поправки для 15 ":

Для 60 'поправка становить 0,23%;
Для 15 'поправка становить х%
х% \u003d \u003d 0,0575 ≈ 0,06%

Відносна величина поправки для кута нахилу 7 ° 15 "
0,75%+0,06% = 0,81%
Потім треба визначити абсолютну величину поправки:
\u003d 14,05 м приблизно 14 м.
Довжина похилої лінії на топографічній поверхні буде:
1735 м + 14 м \u003d 1 749 м.

При малих кутах нахилу (менше 4 ° - 5 °) різниця в довжині похилої лінії і її горизонтальної проекції дуже мала і може не враховуватися.

6.6. ВИМІР ПЛОЩ ПО КАРТАМ

Визначення площ ділянок по топографічних картах засноване на геометричній залежності між площею фігури і її лінійними елементами. Масштаб площ дорівнює квадрату лінійного масштабу.
Якщо сторони прямокутника на карті зменшені в n раз, то площа цієї фігури зменшиться в n 2 разів.
Для карти масштабу 1:10 000 (в 1 см 100 м) масштаб площ буде дорівнює (1: 10 000) 2 або в 1 см 2 буде 100 м × 100 м \u003d 10 000 м 2 або 1 га, а на карті масштабу 1 : 1 000 000 в 1 см 2 - 100 км 2.

Для вимірювання площ по картах застосовують графічні, аналітичні та інструментальні методи. Застосування того чи іншого способу вимірювань обумовлено формою вимірюваного ділянки, заданою точністю результатів вимірювань, необхідною швидкістю отримання даних і наявністю необхідних приладів.

6.6.1. Вимірювання площі ділянки з прямолінійними межами

При вимірюванні площі ділянки з прямолінійними межами ділянку ділять на прості геометричні фігури, вимірюють площу кожної з них геометричним способом і, підсумовуючи площі окремих ділянок, обчислених з урахуванням масштабу карти, отримують загальну площу об'єкта.

6.6.2. Вимірювання площі ділянки з криволінійним контуром

Об'єкт з криволінійним контуром розбивають на геометричні фігури, попередньо випрямити кордону з таким розрахунком, щоб сума відсічених ділянок і сума надлишків взаємно компенсували один одного (рис. 6.10). Результати вимірювань будуть, в деякій мірі, наближеними.

Мал. 6.10. Випрямлення криволінійних кордонів ділянки і
розбивка його площі на прості геометричні фігури

6.6.3. Вимірювання площі ділянки зі складною конфігурацією

Вимірювання площ ділянок, мають складну неправильну конфігурацію, частіше роблять за допомогою палеток і планіметрів, що дає найбільш точні результати. сіткова палетка являє собою прозору пластину з сіткою квадратів (рис. 6.11).

Мал. 6.11. Квадратна сіткова палетка

Палетку накладають на вимірюваний контур і по ній підраховують кількість клітин і їх частин, які опинилися всередині контуру. Частки неповних квадратів оцінюються на око, тому для підвищення точності вимірювань застосовуються палетки з дрібними квадратами (зі стороною 2 - 5 мм). Перед роботою на даній карті визначають площу одного осередку.
Площа ділянки розраховується за формулою:

Р \u003d а 2 n,

де: а -сторона квадрата, виражена в масштабі карти;
n - число квадратів, що потрапили в межі контуру вимірюваного ділянки

Для підвищення точності площа визначають кілька разів з довільною перестановкою використовуваної палетки в будь-яке положення, в тому числі і з поворотом щодо її початкового положення. За остаточне значення площі приймають середнє арифметичне з результатів вимірювань.

Крім сіткових палеток, застосовують точкові і паралельні палетки, що представляють собою прозорі пластини з награвірован точками або лініями. Точки ставляться в одному з кутів осередків гратчастої палетки з відомою ціною поділки, потім лінії сітки видаляють (рис. 6.12).

Мал. 6.12. точкова палетка

Вага кожної точки дорівнює ціні поділки палетки. Площа вимірюваного ділянки визначають шляхом підрахунку кількості точок, які опинилися всередині контуру, і множать цю кількість на вагу точки.
На паралельній палетке награвірован рівновіддалені паралельні прямі (рис. 6.13). Вимірюваний ділянку, при накладенні на нього палетки, виявиться розділеним на ряд трапецій з однаковою висотою h. Відрізки паралельних ліній всередині контуру (посередині між лініями) є середніми лініями трапецій. Для визначення площі ділянки за допомогою цієї палетки необхідно суму всіх виміряних середніх ліній помножити на відстань між паралельними лініями палетки h(З урахуванням масштабу).

P \u003d hΣl

Рис 6.13. Палітра, що складається з системи
паралельних ліній

Вимірювання площ значних ділянок проводиться картками за допомогою планиметра.

Мал. 6.14. полярний планіметр

Планиметр служить для визначення площ механічним способом. Широке поширення має полярний планіметр (рис. 6.14). Він складається з двох важелів - полюсного і обвідного. Визначення площі контуру планіметром зводиться до наступних дій. Закріпивши полюс і встановивши голку обвідного важеля в початковій точці контуру, беруть відлік. Потім обвідний шпиль обережно ведуть по контуру до початкової точки і беруть другий відлік. Різниця відліків дасть площа контура в розподілах планиметра. Знаючи абсолютну ціну поділки планиметра, визначають площу контуру.
Розвиток техніки сприяє створенню нових приладів, що підвищують продуктивність праці при обчисленні площ, зокрема - використання сучасних приладів, серед яких - електронні планіметри.

Мал. 6.15. Електронний планіметр

6.6.4. Обчислення площі багатокутника за координатами його вершин
(Аналітичний спосіб)

Даний спосіб дозволяє визначити площу ділянки будь-якої конфігурації, тобто з будь-яким числом вершин, координати яких (х, y) відомі. При цьому нумерація вершин повинна проводитися по ходу годинникової стрілки.
Як видно з рис. 6.16, площа S багатокутника 1-2-3-4 можна розглядати як різницю площ S "фігури 1У-1-2-3-3у і S" фігури 1y-1-4-3-3у
S \u003d S "- S".

Мал. 6.16. До обчислення площі багатокутника за координатами.

У свою чергу кожна з площ S "і S" є сумою площ трапецій, паралельними сторонами яких є абсциси відповідних вершин багатокутника, а висотами - різниці ординат цих же вершин, т. Е.

S "\u003d Пл. 1У-1-2-2у + пл. 2у-2-3-3у,
S "\u003d пл 1У-1-4-4у + пл. 4у-4-3-3у
або: 2S "\u003d (Х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 +x 3) (у 3 - у 2)
2 S "\u003d (Х 1 + х 4) (у 4 - у 1) + (х 4 + х 3) (у 3 - у 4).

Таким чином,
2S \u003d (Х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 +x 3) (у 3 - у 2) - (Х 1 + х 4) (у 4 - у 1) - (х 4 + х 3) (у 3 - у 4). Розкривши дужки, отримуємо
2S \u003d х 1 у 2 - х 1 у 4 + х 2 у 3 - x 2 у 1 + х 3 у 4 - х 3 у 2 + х 4 у 1 - х 4 у 3

Звідси
2S \u003d х 1 (у 2 - у 4) + х 2 (у 3 - у 1) +х 3 (у 4 - у 2) + х 4 (у 1 - у 3) (6.1)
2S \u003d y 1 (х 4 - х 2) + y 2 (х 1 - х 3) + y 3 (х 2 - х 4) + y 4 (х 3 - х 1) (6.2)

Уявімо вираження (6.1) і (6.2) в загалом вигляді, Позначивши через i порядковий номер (i \u003d 1, 2, ..., п) вершини багатокутника:
(6.3)
(6.4)
Отже, подвійна площа багатокутника дорівнює або сумі творів кожної абсциси на різницю ординат наступної і попередньої вершин багатокутника, або сумі творів кожної ординати на різницю абсцис попередньої та подальшої вершин багатокутника.
Проміжним контролем обчислень є задоволення умов:

0 або \u003d 0
Значення координат і їх різниці зазвичай округлюються до десятих часток метра, а твори - до цілих квадратних метрів.
Складні формули по розрахунку площі ділянки можна легко вирішити за допомогою електронних таблиць MicrosoftXL. Приклад для багатокутника (полігону) з 5 точок наведено в таблицях 6.4, 6.5.
У таблицю 6.4 вводимо вихідні дані і формули.

Таблиця 6.4.

				y i (x i-1 - x i + 1)
	Подвійна площа в м 2			СУММ (D2: D6)
	Площа в гектарах

У таблиці 6.5 бачимо результати обчислень.

Таблиця 6.5.

				y i (x i-1 -x i + 1)
	Подвійна площа в м 2
	Площа в гектарах

6.7. Окомірних ВИМІРЮВАННЯ НА КАРТІ

У практиці картометрических робіт широко використовують окомірні вимірювання, які дають приблизні результати. Однак вміння глазомерно визначити по карті відстані, напрямки, площі, крутизну схилу і інші характеристики об'єктів сприяє оволодінню навичками правильного розуміння картографічного зображення. Точність окомірних визначень підвищується з набуттям досвіду. Окомірні навички попереджають грубі прорахунки в вимірах приладами.
Для визначення довжини лінійних об'єктів по карті слід глазомерно порівняти величину цих об'єктів з відрізками кілометрової сітки або поділами лінійного масштабу.
Для визначення площ об'єктів як своєрідну палетку використовують квадрати кілометрової сітки. Кожному квадрату сітки карт масштабів 1:10 000 - 1:50 000 на місцевості відповідає 1 км 2 (100 га), масштабом 1: 100 000 - 4 км 2, 1: 200 000 - 16 км 2.
Точність кількісних визначень по карті, з розвитком окоміру, становить 10-15% вимірюваної величини.

Відео

Завдання на визначення масштабу

Завдання і питання для самоконтролю

1. Які елементи включає математична основа карт?
2. Розкрийте поняття: «масштаб», «горизонтальне прокладання», «чисельний масштаб», «лінійний масштаб», «точність масштабу», «підстави масштабу».
3. Що являє собою іменований масштаб карти і як ним користуватися?
4. Що являє собою поперечний масштаб карти, для якої мети він призначений?
5. Який поперечний масштаб карти вважають нормальним?
6. Які масштаби топографічних карт і лесоустроітельних планшетів застосовують в Україні?
7. Що являє собою перехідний масштаб карти?
8. Як розраховують підставу перехідного масштабу?
Попередня

називається масштаб, який виражається дробом, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник показує, у скільки разів горизонтальне прокладення лінії місцевості зменшено при зображенні горизонтального прокладання лінії на плані або карті.

чисельний масштаб - величина неіменованого. Він записується так: 1: 1000, 1: 2000, 1: 5000 і т.д., причому в такому записі 1000, 2000 і 5000 називається знаменником масштабу М.

Чисельний масштаб говорить про те, що в одній одиниці довжини лінії на плані (карті) міститься точно стільки ж одиниць довжини на місцевості. Так, наприклад, в одній одиниці довжини лінії на плані 1: 5000 міститься точно 5000 таких же одиниць довжини на місцевості, а саме: один сантиметр довжини лінії на плані 1: 5000 відповідає 5000 сантиметрам на місцевості (тобто 50 метрам на місцевості ); в одному міліметрі довжини лінії на плані 1: 5000 міститься 5000 міліметрів на місцевості (тобто в одному міліметрі довжини лінії на плані 1: 5000 міститься 500 сантиметрів або 5 метрів на місцевості) і т.д.

При роботі з планом в ряді випадків користуються лінійним масштабом.

лінійний масштаб

- графічне побудова, (рис. 1) яке є зображенням певної чисельного масштабу.
рис.1

Підставою лінійного масштабу називається відрізок АВ лінійного масштабу (основна частка масштабу), що дорівнює зазвичай 2 см. Він переводиться в відповідну довжину на місцевості і підписується. Крайнє ліве підставу масштабу ділять на 10 рівних частин.

Найменше розподіл підстави лінійного масштабу одно 1/10 підстави масштабу.

Приклад: для лінійного масштабу (що використовується при роботі на топографічному плані масштабу 1: 2000), показаного на малюнку 1, підстава масштабу АС дорівнює 2 см (тобто 40 метрам на місцевості), а найменше розподіл підстави дорівнює 2 мм, що в масштабі 1: 2000 відповідає 4 м на місцевості.

Відрізок cd (рис. 1), взятий з топографічного плану масштабу 1: 2000, складається з двох підстав масштабу та двох найменших поділок підстави, що, в підсумку, відповідає на місцевості 2х40м + 2х2м \u003d 88 м.

Точніше графічне визначення і побудова довжин ліній можна зробити за допомогою іншого графічного побудови - поперечного масштабу (рис. 2).

поперечний масштаб

- графічне побудова для максимально точного вимірювання і відкладання відстаней на топографічному плані (карті). Точністю масштабу називається горизонтальний відрізок на місцевості, який відповідає величині 0,1 мм на плані даного масштабу. Ця характеристика залежить від роздільної здатності неозброєного людського ока, яка (роздільна здатність) дозволяє розглянути мінімальну відстань на топографічному плані в 0.1 мм. На місцевості ця величина буде вже дорівнює 0.1 мм х М, де М - знаменник масштабу

Підстава AB нормального поперечного масштабу одно, як і в лінійному масштабі, також 2 см. Найменша розподіл підстави одно CD \u003d 1/10 АВ \u003d 2 мм. Найменше розподіл поперечного масштабу одно cd \u003d 1/10 CD \u003d 1/100 АВ \u003d 0,2 (що випливає з подібності трикутників BCD і трикутника Bcd).

Таким чином, для чисельного масштабу 1: 2000 підставу поперечного масштабу буде відповідати 40 м, найменше розподіл підстави (1/10 підстави) дорівнює 4 м, а найменше розподіл масштабу 1/100 АС дорівнює 0,4 м.

Приклад: відрізок ав (рис. 2), взятий з плану масштабу 1: 2000, відповідає на місцевості 137,6 м (3 підстави поперечного масштабу (3х40 \u003d 120 м), 4 найменших поділу підстави (4х4 \u003d 16 м) і 4 найменших ділення масштабу (0.4х4 \u003d 1.6 м), тобто 120 + 16 + 1.6 \u003d 137.6 м).

Зупинимося на одній з найважливіших характеристик поняття «масштаб».

точністю масштабу називається горизонтальний відрізок на місцевості, який відповідає величині 0,1 мм на плані даного масштабу. Ця характеристика залежить від роздільної здатності неозброєного людського ока, яка (роздільна здатність) дозволяє розглянути мінімальну відстань на топографічному плані в 0.1мм. На місцевості ця величина буде вже дорівнює 0.1 мм х М, де М - знаменник масштабу.

рис.2

Поперечний масштаб, зокрема, дозволяє виміряти довжину лінії на плані (карті) масштабу 1: 2000 саме з точністю даного масштабу.

Приклад: в 1 мм плану 1: 2000 міститься 2000 мм місцевості, а в 0,1, відповідно, 0,1 x М (мм) \u003d 0.1 х 2000 мм \u003d 200 мм \u003d 20 см, тобто 0,2 м.

Тому при вимірюванні (побудові) на плані довжини лінії її значення слід округлити з точністю масштабу. Приклад: при вимірюванні (побудові) лінії довжиною 58,37 м (рис. 3), її значення в масштабі 1: 2000 (з точністю масштабу 0,2 м) округляється до 58,4 м, а в масштабі 1: 500 (точність масштабу 0,05 м) - довжина лінії округляється вже до 58,35 м.

Масштаб - цевідношення довжини лінії на кресленні, плані або карті до довжини відповідної лінії в дійсності. Він показує, у скільки разів відстань на карті зменшено щодо реального відстані на місцевості. Якщо, наприклад, масштаб географічної карти 1: 1 000 000, це означає, що 1 см на карті відповідає 1 000 000 см на місцевості, або 10 км.

Розрізняють чисельний, лінійний і іменований масштаби .

чисельний масштаб зображується у вигляді дробу, у якої чисельник дорівнює одиниці, а знаменник - число, що показує, у скільки разів зменшено лінії на карті (плані) щодо ліній на місцевості. Наприклад, масштаб 1: 100 000 показує, що все лінійні розміри на карті зменшені в 100 000 разів. Очевидно, чим більше знаменник масштабу, тим масштаб дрібніше, при меншому знаменнику - більший. Чисельний масштаб - це дріб, тому чисельник і знаменник даються в однакових вимірах (сантиметрах).

лінійний масштаб являє собою пряму лінію, розділену на рівні відрізки. Ці відрізки відповідають певному відстані на зображуваної місцевості; ділення позначаються цифрами. Міра довжини, по якій нанесені поділки на масштабній лінійці, називаються підставою масштабу. У нашій країні підставу масштабу прийнято рівним 1 см. Кількість метрів або кілометрів, відповідне основи масштабу, називають величиною масштабу. При побудові лінійного масштабу цифру 0 , Від якої починається відлік поділок, зазвичай ставлять не у самого кінця масштабної лінії, а відступивши на одну поділку (підстава) вправо; на першому ж відрізку наліво від 0 наносять найменші поділу лінійного масштабу - міліметри. Відстань на місцевості, відповідне одному найменшому поділу лінійного масштабу, відповідає точності масштабу, а 0,1 мм - граничної точності масштабу. Лінійний масштаб порівняно з чисельним має ту перевагу, що дає можливість без додаткових обчислень визначати дійсне відстань на плані і карті.

іменований масштаб - масштаб, виражений словами, наприклад, в 1 см 32 км.

Вимірювання відстаней на карті і плані.

Вимірювання відстаней за допомогою масштабу. Потрібно прокреслити пряму лінію (якщо потрібно дізнатися відстань по прямій) між двома точками і за допомогою лінійки виміряти цю відстань в сантиметрах, а потім слід помножити отримане число на величину масштабу. Наприклад, на карті масштабу 1: 100 000 (В 1 см 1 км) відстань дорівнює 5 см, Т. Е. На місцевості ця відстань складає 1 * 5 \u003d 5 (км). Вимірювати відстань по карті можна і за допомогою циркуля-вимірювача. У цьому випадку зручно користуватися лінійним масштабом.

Вимірювання відстаней за допомогою градусної мережі.Для розрахунку відстаней по карті або глобусі можна використовувати такі величини: довжина дуги 1 ° меридіана і 1 ° екватора дорівнює приблизно 111 км. Для меридіанів це вірно завжди, а довжина дуги 1 ° паралелями зменшується до полюсів. На екваторі його можна теж взяти рівному 111 км. А на полюсах - 0 (Т. К. Полюс - це точка). Тому необхідно знати число кілометрів, відповідне довжині 1 ° дуги кожної конкретної паралелі. Щоб визначити відстань в кілометрах між двома пунктами, що лежать на одному меридіані, обчислюють відстань між ними в градусах, а потім число градусів множать на 111 км. Для визначення відстані між двома точками на екваторі, також потрібно визначити відстань між ними в градусах, а потім помножити на 111 км.